Arch'it - Extended Play: Bernard Cache, In difesa di Euclide

In difesa di Euclide*

PARTE(1)

Ma quali sono, per gli architetti, le conseguenze di quest'evoluzione della matematica? Dobbiamo esiliare i cinque postulati di Euclide come una ormai inutile eredità dei Greci, non diversamente da come i Moderni hanno abbandonato i cinque ordini dell'architettura? A proposito, gli stessi Moderni avevano già fatto riferimento ad altre geometrie, ma con scarsi risultati tangibili. Allora oggi, in questa nostra era digitale, il computer ci obbliga a pensare ed a vivere in uno spazio topologico multidimensionale e non-euclideo? Oppure dobbiamo considerare il computer come una bussola variabile, che esprimerà nuove potenzialità all'interno del vecchio spazio euclideo? Questi problemi sollecitano un'indagine ravvicinata su quanto sta accadendo alla geometria; e le risposte a tali problemi sono molto importanti poiché la geometria resta ancora lo strumento basilare dell'architettura.

Euclide scrisse i suoi tredici libri sulla geometria circa 300 anni prima che Vitruvio componesse i suoi Dieci Libri dell'architettura, all'alba del primo millennio. Questo rende con certezza la geometria di Euclide uno dei più antichi trattati di scienza. Tuttavia, Euclide, non è partito dal nulla: molti dei teoremi da lui adottati erano già conosciuti molto prima della sua epoca, in particolare dagli Egizi, che i Greci hanno sempre tenuto in gran considerazione. Ciò che Euclide fece, di veramente originale, fu la sistematizzazione di un corpus contenente quello che prima di lui era soltanto una serie di dimostrazioni teoriche e di esempi pratici sparsi. In effetti, l'opera di Euclide ha due aspetti. Da una parte, si tratta di una descrizione dello spazio, sia come una forma della mente sia come fenomeno fisico; dall'altra, essa costituisce una delle prime e più importanti opere di logica. Di qui la duplice lettura richiesta dagli Elementi di geometria: sia come contenitore assiomatico sia come contenuto fisico. Per questo gli Elementi sono il primo tentativo di collegare tra loro logica astratta ed esperienza sensibile, testimoniando le molteplici origini della geometria di cui ci parla Michel Serres (1).

Cominciamo con l'aspetto fisico della geometria. La destituzione della geometria euclidea da parte degli architetti appare piuttosto sorprendente se si osserva quanto sia essa apprezzata dalla comunità scientifica contemporanea, specialmente da coloro che non possono essere sospettati d'ortodossia, come Roger Penrose. Nel suo libro The emperor's new mind. Concerning computers, minds and the laws of physics (2), Penrose sostiene che la geometria euclidea sia la prima tra le pochissime teorie degne di essere dette "superbe" per il loro elevato livello di precisione. La teoria di Einstein ci insegna senza dubbio alcuno che lo spazio(-tempo) in presenza di un campo gravitazionale è in realtà "curvo" (e quindi non euclideo), ma in generale è possibile percepire questa curvatura solo in presenza di corpi che si muovono a velocità prossime a quella della luce. Ecco il perché del limitatissimo impatto della teoria di Einstein sulla tecnologia. Normalmente, "su una scala metrica, le deviazioni dalla piattezza euclidea sono in realtà minime, e gli errori nel trattare la geometria come euclidea corrispondono a meno del diametro di un atomo di idrogeno!". Come certamente sanno quelli che hanno familiarità con le difficoltà che emergono nella costruzione di edifici avendo a che fare con componenti controllati numericamente dalla precisione del decimo di millimetro, la geometria euclidea è di più che sufficiente approssimazione per lo spazio architettonico. Certo, la nostra esperienza ci insegna che in architettura le superfici a curvatura libera richiedono la massima accuratezza, ma siamo ancora molto lontani dal superare i limiti dati dalla descrizione di Euclide. Piuttosto curioso il fatto che lo stesso Lobacevskij si dedicò alla verifica sperimentale della geometria. Egli, che aveva pienamente compreso le conseguenze della geometria non-euclidea, sapeva benissimo quanto la geometria fosse oggetto di una scelta, in cui l'intuizione non aveva niente da insegnare alla logica. Tuttavia, con la fisica e la precisione sperimentale del suo tempo, Lobacevskij concluse che la geometria euclidea era il miglior modello di spazio. Da questo si vede come la nostra semplice intuizione ha molto a che fare con quello che noi sperimentalmente costruiamo come una realtà spaziale. Come disse Einstein: "Quello che è incomprensibile è che il mondo sia comprensibile".

Ora, quando si giunge agli altri aspetti degli Elementi, seguendo il more logico piuttosto che il more geometrico, le cose diventano un po' più complesse e richiedono uno sguardo all'organizzazione dell'opera. Euclide comincia con tre tipi di proposizioni: nell'ordine Definizioni, Postulati e Nozioni Comuni, che costituiscono la base di tutti i suoi teoremi o proposizioni.

Le 23 definizioni introducono termini che vanno da "punto" (ciò che non ha parti) a "parallele" (rette complanari che non si incontrano mai).

Queste definizioni sono seguite dai cinque famosi postulati:
1- da qualsiasi punto si può condurre una retta ad ogni altro punto;
2- è possibile prolungare una linea finita, continuamente in linea retta;
3- è possibile descrivere una circonferenza con un qualunque centro e distanza;
4- tutti gli angoli retti sono uguali l'uno all'altro;
5- se una retta, venendo a cadere su due rette, forma gli angoli interni da una stessa parte minori di due angoli retti, le due rette, prolungate indefinitamente, si incontrano dalla parte in cui sono i due angoli minori di due angoli retti.

Poi Euclide introduce alcune nozioni comuni di aritmetica e logica come: "Le cose uguali ad una stessa cosa sono anche uguali tra loro" o "Il tutto è più grande della parte".

In realtà, sia le definizioni che i postulati e le nozioni comuni avrebbero poi generato problemi che analizzeremo nel corso del tempo, nello stesso modo in cui essi si sono confrontati con la storia della matematica, partendo per esempio dai postulati.

Ciò che sconcertò anche i primi commentatori è il fatto che lo stesso Euclide sembra evitare il suo quinto postulato, dal momento che egli non ne fa alcun uso nelle prime 28 proposizioni. I primi quattro postulati furono facilmente accolti come proposizioni capaci di mettere chiunque in grado di costruire figure, e di dare dimostrazioni attraverso una riga ed un compasso (3).

D'altra parte, la posposizione nell'uso del quinto postulato portò i commentatori a pensare che questo non fosse strettamente necessario, o che fosse addirittura possibile sbarazzarsene, oppure a dimostrare che fosse una conseguenza dei primi quattro postulati. Proclo (primo secolo AC) aveva già citato il tentativo di un suo emendamento da parte di Tolomeo (secondo secolo AC), e propose a sua volta un metodo. Ma per più di duemila anni nessun tentativo ebbe successo finché un Padre Gesuita italiano, Girolamo Saccheri, pubblicò nel 1733 un piccolo volume intitolato Euclides ab omni naevo vindicatus (Euclide riscattato da ogni difetto). Saccheri utilizzò un suo precedente lavoro di logica e diede luogo ad una dimostrazione per assurdo, cercando di dimostrare che la negazione di questo sfortunato postulato avrebbe portato ad una contraddizione. Saccheri, nel far questo, non solo non trovò la contraddizione logica, ma di fatto dimostrò molti dei teoremi relativi a quella che oggi noi conosciamo come geometria non-euclidea. In ogni modo, le conseguenze geometriche delle sue affermazioni furono così impreviste e così divergenti dal senso comune che egli sentì di dover concludere di essere giunto a delle proposizioni "in disaccordo con la natura della linea retta". Saccheri era talmente preoccupato di rivendicare Euclide che scambiò questi inattesi risultati geometrici per la logica negazione di ciò che stava in realtà cercando.

Klugel elenca e commenta, a partire dal 1763, oltre ventotto diversi tentativi di spiegare il quinto postulato. Il risultato principale di tali ricerche fu la produzione di forme ad esso equivalenti. La più promettente di tutte fu quella di Playfair, fisico e matematico scozzese (1748-1819) che lo riformulò come il Postulato delle Parallele: "attraverso un dato punto P esiste un'unica parallela ad una retta data". È sotto questa nuova forma che numerosi matematici, lavorando in maniera indipendente l'uno dall'altro, avrebbero più o meno nello stesso periodo risolto il problema del quinto postulato. In effetti il tedesco Gauss aveva nel 1923 preceduto il russo Lobacevskij e l'ungherese Bolyai, ciascuno dei quali avrebbe poi dimostrato l'indipendenza del Postulato della Parallela, ma Gauss non ebbe il coraggio di rendere pubblica la sua scoperta temendo le critiche che un tale risultato contro-intuitivo avrebbe potuto sollevare. Furono i tre a dimostrare che non esisteva contraddizione logica con gli altri quattro postulati, qualunque numero di parallele si conducessero, attraverso un punto, ad una retta data. L'intuizione spaziale andava semplicemente adattata a ciascun caso. I quattro postulati costituiscono quella che è chiamata la "geometria assoluta" a partire dalla quale la geometria si divide. Una volta assunta questa geometria assoluta esistono infatti tre scelte possibili: restare all'interno della geometria euclidea, ed assumere che il numero delle parallele sia soltanto uno; affermare che non esistono parallele, scelta che porta alla "geometria ellittica" di Riemann; oppure, infine, postulare che c'è più di una parallela, il che apre le porte alla "geometria iperbolica" di Lobacevskij.

È importante considerare che in realtà, così facendo, i matematici consolidavano quelle che erano le basi della geometria euclidea. A questo punto, evidentemente, non era più soltanto un problema di geometria: essi dimostrarono, infatti, che il quinto postulato oltre che necessario, era anche essenziale per far coincidere la logica di Euclide con il senso comune. Così come per le altre geometrie, il problema era l'opposto, vale a dire trovare modelli intuitivi tali da assecondare la logica. Per far questo, occorreva disfarsi del significato corrente di termini come: "punto", "linea" o "piano". Per esempio, nel modello di geometria iperbolica di Poincaré, la "linea" diventa un arco di cerchio, e nel modello sferico della geometria ellittica i "punti" sono due punti diametralmente opposti. Ciò che risulta evidente è che il problema si sposta dai postulati alle definizioni. Piuttosto che procurare un supporto intuitivo alle dimostrazioni logiche, il significato di termini primari come punti o linee è dedotto dal sistema all'interno del quale essi vengono usati. Così come i postulati non sono dimostrabili, i termini primari non sono definibili. Di qui la necessità di rintracciare negli Elementi di Euclide ogni traccia di intuizione spaziale.

Questo è l'importante risultato ottenuto da Hilbert nei suoi Grundlagen der Geometrie, pubblicati nel 1899. La geometria diventa assiomatica. Hilbert basò il suo sistema su 21 assiomi organizzati in cinque gruppi; il numero 5 stabilisce una continuità con l'opera di Euclide. Il primo gruppo, la geometria proiettiva, è composto da 8 assiomi che stabiliscono delle relazioni interne, piuttosto che loro definizioni come i concetti di punti, rette e piani. Per esempio, è possibile verificare che la proposizione: "due punti distinti determinano un'unica retta" può essere invertita nella relazione "due distinte rette determinano un unico punto". Questo Principio di Dualità fu sviluppato da Poncelet che sistematizzò la Geometria Proiettiva di Desargues. Il secondo gruppo, la topologia, consiste nei quattro assiomi di "ordine" e definisce il significato di "tra". Se A, B e C appartengono alla stessa retta e B si trova tra A e C, allora B si può descrivere come "tra" C ed A. Il terzo gruppo, la congruenza, è costituito dai sei assiomi necessari per definire una parità geometrica. Il quarto gruppo contiene un unico assioma, il famoso postulato delle parallele. Infine, l'ultimo gruppo è definito dai due assiomi di continuità, incluso quello che è conosciuto come l'assioma di Archimede.

La combinazione di questi 21 assiomi indipendenti e coerenti permette di generare molte geometrie. La geometria Euclidea è basata sulla totalità dei 21 assiomi ed è stato dimostrato che il sistema logico che si determina è saturo, vale a dire che non è possibile aggiungere un ventiduesimo assioma senza creare delle contraddizioni nel sistema stesso. Da questo punto di vista, occorre ancora una volta riconoscere l'opera di Euclide come la più strutturata delle geometrie. Le altre geometrie possono essere generate tanto dalla negazione o dalla soppressione di uno o più assiomi. Ecco allora che la negazione dell'unicità delle parallele, postulata nel quarto gruppo, genera le geometrie non-euclidee. Ma, a questo punto, è anche possibile indagare la geometria non-archimedea, attraverso la negazione dell'assioma di Archimede nel quinto gruppo. Oppure, giungendo a sopprimere gli assiomi, avere una geometria più generale, ma ancor meno strutturata. In questo modo Frederic Klein ha mostrato come la geometria proiettiva sia indipendente dal Postulato delle Parallele, cioè può esistere una geometria proiettiva sia all'interno di una geometria euclidea che di una non-euclidea. La Topologia, a sua volta, è basata su di un numero d'assiomi ancora più ristretto, e questo è ancora più comprensibile se si guarda la geometria da una diversa angolazione.

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Note

(1) Cfr. Michel Serres, Les origines de la géométrie, Paris, Flammarion, 1993 [tr. it. Le origini della geometria, Milano, Feltrinelli, 1994].
(2) Tr. it. La mente nuova dell'imperatore, Milano, Rizzoli, 1992, ndt.
(3) Per quanto riguarda architetti e designers è molto interessante considerare l'approccio logico e geometrico all'ornamento da parte di Jan Hessel de Groot, il quale si impose di generare forme e motivi ornamentali quadrati a 45° ed a 60°. In Dreihoeken bij Ontwerpen van Ornament (progetto di ornamento triangolare), egli espose il suo tentativo di: 1. dimostrare il modo semplice in cui le figure possono prendere forma, e la loro precisa auto-determinazione; 2. mettere a punto uno strumento capace di produrre una continuità nella composizione ornamentale. Cfr. Il progetto dell'ornamento. Jan Hessel de Groot, in "Casabella", n.647, luglio-agosto 1997, pp. 64-73.

["In difesa di Euclide" è pubblicato contemporaneamente da Arch'it e da ANY Review. La traduzione italiana è di Marco Brizzi. Di Bernard Cache, MIT Press ha pubblicato il volume "Earth Moves", acquistabile da Amazon.com]

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