Arch'it - Extended Play: Bernard Cache, In difesa di Euclide

In difesa di Euclide*

PARTE(4)

Ma allora, da questa prospettiva, l'attuale rigetto di Euclide è mera questione accademica o semplicemente una nuova strategia d'avanguardia? Si tratta di una tabula rasa dello spazio che succederebbe alla tabula rasa del tempo attraverso la quale i Moderni hanno tentato di sbarazzarsi del passato? Abbiamo visto come la controversia sulla geometria proiettiva nel periodo Barocco fosse contemporaneamente architettura e filosofia. Ciononostante, possiamo sospettare che quando una proposizione così errata come quella dello spazio non-euclideo si diffonde così tanto, essa acquista il valore di un sintomo. E la verità di questo sintomo sembra suggerire che abbiamo perso la volontà o, al limite, la forza e la capacità di stabilire distanze; non soltanto in senso geometrico, ma anche nel senso filosofico in cui Nietsche intendeva questo concetto (10). Ci potremmo trovare davanti ad una scelta illusoria tra il vecchio metafisico cerchio ed il cyber-topologico ectoplasma, alternativa che ci porrebbe davanti alla sfera solida in cui la distanza è stabilita come una costante che circonda un centro noto oppure la teratologia di figure inconsistenti… Proprio come se la curvatura non potesse cominciare a variare senza farci cadere nell'indeterminazione.

Ma torniamo agli aspetti tecnici. Lo spazio euclideo potrebbe essere per noi di minore importanza se non avessimo a che fare con produzioni a controllo numerico [vedi www.objectile.net]. Il percorso di una fresa è fondamentalmente una parallela alla superficie da lavorare. In altre parole, un generatore di programmi per macchine comincia col calcolare la serie di punti ad uguale distanza dalla superficie, distanza data dal raggio di curvatura dell'estremità sferica che segue il tracciato. Un programma per macchine è sostanzialmente la parallela ad una superficie libera, comunque essa sia fatta. Ed il concetto di parallela, tanto importante nella geometria euclidea, comincia a sviluppare interessanti problematiche molto prima di poter avere a che fare con delle superfici libere.

Figg. 1-7.

Prendiamo il caso di un software CAD, ed seguiamo le stesse azioni da questo svolge quando deve tracciare delle parallele. Per definizione, la parallela ad un punto P è l'insieme di punti che si trovano ad una data distanza da P. È il caso di un cerchio, da cui si vede già che l'operazione della parallela trasforma la figura in qualcosa di differente [fig.1]. C'è poi il caso della linea retta. La parallela è facile da disegnare, se si considera una retta indefinita. Parallele sono quindi due linee trasposte, ad una data distanza, su ogni lato della retta originale: è il caso tipico che, normalmente, ci porta a confondere la parallela con la traslazione [fig.2]. Ma questa confusione scompare rapidamente se si prende una retta finita. Tutto va bene finché si considera l'asse del segmento la cui parallela possa essere assimilata ai due segmenti trasposti; ma cosa accade se questo avviene alla fine? In tal caso, ad esser precisi, dovremmo aggiungere due semicerchi ai due segmenti su ogni lato della retta originale, dal momento che essi si trovano in realtà alla stessa data distanza dalla linea originale. La linea diventa quindi oblunga [fig. 3]. In caso contrario, se vogliamo fissarci sull'idea intuitiva dei due segmenti, dobbiamo aggiungere una regola alla nostra definizione della parallela, specificando che abbiamo semplicemente bisogno dei punti a una distanza che possa essere determinata secondo una linea ortogonale, potendo considerare quest'ultima calcolabile [fig. 3bis]. Ma vedremo subito che questa regola ci porterebbe verso altri problemi nel prossimo caso, quello del quadrato, dato che il primo risultato della parallela consisterebbe allora in otto segmenti indipendenti [fig. 4].

Cominciamo a distinguere tra l'interno e l'esterno del quadrato, ed a separare due casi differenti per collegare insieme i quattro isolati segmenti esterni, ed accorciare i quattro segmenti interni incrociati. La riduzione dei segmenti interni è preliminare all'eliminazione degli anelli che si sviluppano nella maggior parte dei casi di parallele, allo stesso modo di come si sviluppano i distaccamenti tra i quattro segmenti esterni in quanto diretta conseguenza della regola da noi aggiunta [fig. 4bis]. Se torniamo ad eliminare questa regola, la parallela esterna diventa un quadrato con gli angoli arrotondati [fig. 4ter]; il risultato potrebbe soddisfare molti nell'industria della modellazione, ma ci restituisce una forma differente dal quadrato originale e dalle sue parallele interne, e questo potrebbe lasciare insoddisfatti molti architetti e designers, così come deluderebbe l'immediata intuizione da parte del pubblico. Questa intuizione potrebbe prendere le mosse dal caso particolare del cerchio, in cui sia la parallela interna che quella esterna conservano una forma simile a quella della figura originale [fig. 5]. In questo caso la generazione della parallela produce cerchi più grandi e più piccoli, e l'operazione diventa una trasformazione di scala che in italiano si chiama "omotetia", sulla base dell'etimo greco "homoios" che significa "simile". L'insoddisfazione può anche crescere se si considera che quella della parallela non è generalmente una trasformazione reversibile. Se, tornando al nostro quadrato ed alle sue due parallele, prendiamo in considerazione quella interna, e generiamo la sua parallela esterna alla stessa distanza usata in precedenza, otteniamo un quadrato stondato le cui parti rettilinee si fondono con i lati del quadrato iniziale [fig. 6]. In questo modo la parallela che si è ottenuta tracciando una parallela ad una figura iniziale non corrisponde necessariamente alla figura iniziale. I software CAD dispongono normalmente di diverse opzioni per risolvere questo problema che si determina in caso di poligoni o di figure composte: si può scegliere se le parallele esterne debbano essere arrotondate, squadrate o smussate (11) [fig. 7]. E, nel caso di software per l'architettura, elementi come i muri sono abbastanza "intelligenti" da comportarsi come la maggioranza delle persone si aspetterebbe: questa può essere, ovviamente, una seria limitazione. Analogamente, con forme costituite da elementi più complessi, i software CAD sono sempre in grado di trovare soluzioni per estrapolare dei quadrati distorti; ma dobbiamo stare attenti all'irreversibile perdita d'informazione che si verifica ogni volta che si torna indietro da una parallela interna ad una parallela esterna [fig. 8].

Fig. 8 - Due parallele alla stessa curva estrapolate in due
modi differenti.

Fig. 9 - Parallele su ciascun lato di una curva simmetrica.

Quest'irreversibile perdita d'informazione diventa ancor più evidente nel caso di una curva libera ed aperta, nel momento in cui si aumenta la distanza alla quale la parallela viene generata. Il primo effetto causato dalla generazione della parallela è una riduzione del raggio di curvatura nelle concavità, ed un aumento di quello nelle convessità. Questo accade nel caso di una distanza positiva in riferimento alle concavità: il fenomeno si inverte nel caso di una distanza negativa [fig. 9]. La parallela interrompe così la simmetria della curvatura enfatizzando la concavità e attenuando la convessità, o viceversa. Questa conseguenza non è di mero interesse matematico per architetti e designers, dal momento che concavità e convessità sono grandi qualità sulle quali si basano le forme scolpite [fig. 10]. Come scrisse Henry Moore: "Rodin conosceva bene cos'era la scultura: una volta egli disse che la scultura è la scienza del rigonfiamento e dell'avvallamento" (12). Convessità e concavità sono gli equivalenti matematici dei rigonfiamenti e degli avvallamenti scultorei. Ma la parallela non soltanto interrompe la simmetria; essa comincia a creare degli anelli in cui la distanza assume un valore maggiore di dello specifico raggio di curvatura della curva iniziale [fig. 11].

Fig. 10 - Rilievo convesso / simmetrico / concavo.

Fig. 11 - Parallela condotta ad una distanza superiore al
raggio di curvatura e parallela ad una distanza uguale al
raggio di curvatura.

La parallela trasforma delle semplici ondulazioni in strane superfici, ancorché euclidee - oppure perché euclidee, dovremmo dire - in cui gli anelli possono a loro volta includere altri anelli [fig. 12]. Né gli architetti, né i designers possono ignorare questo risultato, dato che l'operazione principale svolta da un software CAM è esattamente cancellare gli anelli sulla superficie parallela che lo strumento a rotolamento sferico deve seguire per produrre meccanicamente un modello. È questa eliminazione degli anelli ad essere irreversibile, per via della perdita di informazioni che abbiamo già rilevato nel caso del quadrato. Sul modello finale, sulla parallela alla parallela, questa perdita di informazione mostrerà zone in cui lo strumento, troppo largo, non è stato capace di entrare nelle concavità e dove ha quindi sostituito il suo raggio costante al posto della curvatura variabile del modello iniziale [fig. 13]. Possiamo ipotizzare che gli architetti barocchi conoscessero già qualcosa a proposito di tali trasformazioni attraverso cui essi creavano senza fine curve su curve, come in una moltiplicazione di cornici e quadri.

Fig. 12 - Fiocchi su di una parallela ad una curva libera.

Fig. 13 - Parallela meccanica e rilievo finale di una curva.

Come si vede, applicare la geometria euclidea non è cosa semplice. Esaminando quanto sia intricato il concetto elementare di parallela, è possibile capire che si tratta in realtà di un problema molto più compelsso di una falsa intuizione attraverso cui associamo questa operazione a normali operazioni di scala o di traslazione. Esistono ancora operazioni elementari che i migliori modellatori solidi disponibili sul mercato, come Parasolid, non riescono a risolvere direttamente. Prendiamo per esempio la generazione di forme spazzate lungo la linea dalla quale il raggio di curvatura si riduce localmente a meno della metà della larghezza della sezione. Come esempio di questo tipo di problema, ci piace ricordare la geometria esatta del corrimano che Desargues disegnò per la scala d'ingresso del Château de Vizille, costruito a Dauphiné nel 1653, e sarebbe utile andare a controllare fino a che punto possa essere disegnato con un attuale software CAD. Quello che stiamo cercando di dire è che gli architetti possono trasformare in ricchezza la complessità dello spazio euclideo. L'analisi di una semplice operazione come la parallela del quadrato mostra già una varietà di casi inattesi, ma se pensiamo a queste difficoltà come architetti, possiamo certamente utilizzarle e trarne vantaggio per indagare nuove forme all'interno dello spazio euclideo, forme che saremo capaci di produrre e costruire. Dal momento in cui la geometria euclidea è supportata dai computer, possiamo cominciare a pensare al concetto generale di curvatura variabile. I cerchi possono essere modulati. Le parallele non hanno più bisogno di essere tracciate ad una distanza costante. I vecchi metodi come la "maniera di condurre una linea ondeggiante" (13) del Guarini, possono essere spinte oltre quello che precedentemente era il possibile.

Fig. 14.

La figura 14 mostra un disegno che Guarini presentò nella sua "Architettura civile". Archi di cerchio sono disegnati dal centro posto all'intersezione delle linee oblique e attraversati dall'intersezione di queste linee oblique con una linea orizzontale variabile. Guarini presenta evidentemente il suo disegno come un progetto generale, che mette in grado di produrre una varietà di linee ondulate. Come potrebbe essere disegnato con un software parametrico. Le linee così generate risultano più o meno concave o convesse a seconda della posizione della linea orizzontale in relazione all'asse centrale del rettangolo. E se, grazie al software parametrico si spinge la linea orizzontale oltre i limiti del rettangolo, si ottiene quella strana linea ad anello che abbiamo già incontrato. Nessuna meraviglia, dato che il disegno di Guarini rappresenta un metodo per generare linee ondulate creando parallele ad una determinata distanza. Allora pensiamo adesso ad ondulazioni che non hanno bisogno di essere prodotte da archi di cerchio piani! Pensiamo a parallele a distanza sempre variabile! Molte imprevedibili figure ci metteranno in grado di incarnare topologie complesse in uno spazio euclideo. Ne abbiamo soltanto annusato l'aroma, e non l'abbiamo ancora assaporato.

Bernard Cache, 21 dicembre 1998

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Note

(10) E' opportuno ricordare che parallelismo è il termine con cui sia Leibniz che Spinoza discussero il problema del corpo e della mente.
(11) Fatto piuttosto interessante, troviamo queste tre soluzioni a diverse scale architettoniche a cominciare dal blocco urbano costruito intorno ad una corte quadrata. Il contorno perimetrale del blocco può restare squadrato o diventare smusato (Piano Cerda) o stondato.
(12) Gli scritti di Henry Moore sono raccolti da Philip James in Henry Moore on Sculpture, New York, Da Capo Press, 1992.
(13) Cfr. Guarino Guarini, Architettura civile, Lastra III, Trattato III, Capo secondo, Del modo di piegare varie linee curve necessarie all'ortografia: maniera di condurre una linea ondeggiante.

["In difesa di Euclide" è pubblicato contemporaneamente da Arch'it e da ANY Review. La traduzione italiana è di Marco Brizzi. Di Bernard Cache, MIT Press ha pubblicato il volume "Earth Moves", acquistabile da Amazon.com]

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